UnderstandingTheGFunction

为了将微表面上的积分和球上的积分关联起来，定义了法线分布函数 D(m)。D(m)为每平方米几何表面的微观法线分布，其单位为平方米每球面度( \(m^2/sr\) )而不是(1/sr)，其表示微观法线对应的微观表面面积。

狄克拉δ分布函数的单位为其输入参数单位的倒数，上面公式中为 1/sr。

有了法线分布函数，就可以将表面空间的积分转化为统计空间(球空间)的积分。

如果 \(g(p_m)\) 为定义在表面空间上的函数，我们可以按照下面方式将其转化为定义在统计空间的函数 \(g(w_m)\) ：

统计空间积分和表面空间积分的关系满足：

双向散射分布函数是双向反射分布函数和双向透射分布函数的和。当表面不吸收辐射率时，散射射线的分布遵守下面的约束：

当 Fresnel 项始终为 1 时，光线就不会透射，此时 BTDF 为 0，散射模型中只包含反射。这种情况下，brdf 的分布遵守下面的约束，其就是 White Furnace Test 方程：

直观上来看，其表达了下面事实，从出射方向发射的射线将会被散射一次或多次并最终完全离开表面。但是，通常解析形式的 BRDF 模型并不会对微表面上的多次散射进行建模，其使用 shadowing 函数将多次散射移除掉了。因此，通常的 BRDF 不满足 White Furnace Test 方程。

通过将 masking-shadowing 函数 G2 换为 masking 函数 G1，我们可以得到如下 Weak White Furnace Test 方程，忽略掉多次散射的 brdf 也遵守下面的约束：

下图总结了 BRDF Normaliztion：

Smith Microsurface Profile 假定微表面是非自我相关的，即某点的法线(或高度)和邻近点的法线(或高度)无关，如下图中右边图示。

从该模型可以得出 G1 函数独立于法线分布。直观上讲，法线是微表面的局部属性，而微表面上的遮挡则可能发生在微表面的任何地方，其为微表面的距离属性(尽管该距离依然是微观尺度上)。因为，微表面是非自我相关的，局部属性独立于距离属性，因此 masking 函数可以被分解为如下形式：

如果我们将推导出的解析函数和测量数据进行比较，将会发现模型预测的结果有一定的正确性，但是不是完全正确。模型是精确推导出来的，但是其只是近似拟合测量数据。

V-Cavity Microsurface Profile 下推导出的 visible normal distribution 如下：

下图展示了 v-cavity 模型下，masking 函数的两种取值情况：

上面的形式由于 min(1, -)项的存在，研究起来比较复杂。但是，V-cavity 模型和 Smith 模型的主要差别在掠射角的情况下。此时上面的 visible normal distribution 函数为下面形式：

下面公式推导了掠射角情况下，V-cavity 模型对应的 visible normal distribution 的归一性：

V-cavities 模型下的 visible normal distribution 符合归一化约束，但是其并不是物理正确的，掠射角情况下，其模拟的 surface profile 是不真实的。该模型更像一个 normal map 而不是 displacement map,如下图所示：

对于单个微表面，normal 可见性越高则其所占的投影面积越大。但是，在 V-cavities 模型中，不同的 normal 被分开模拟，并且由法线分布来确定其权重，该权重中不包含视角相关的因子（除了背面法线的丢弃）。因此 V-cavity 模型缺少可见性效果，最终模拟的效果更像 normal map。

下图展示了使用各项同性的 Beckmann 分布构造的 BRDF。从左到右，Beckmann 分布分别使用了 V-cavity 和 Smith Masking-Shadowing function。从图中可以看出，随着粗糙度增大，Smith 分布向出射方向偏移。对于非常高的粗糙度值，BRDF 甚至主要为后向散射。这样的效果在测量数据中出现了，但是，V-cavity model 没有再现这种效果。

基于物理的 Masking Function 是从微表面模型推导，或者是在物理微表面上测量得到的。基于物理的 Masking Function 遵守下面这些约束，非基于物理的 G1 函数则不满足这些约束：

当斜率分布只依赖于 \(tan(θ_m)/α\) 时，斜率分布 \(P^{22}\) 为：

• \(tan(θ_m)\) 夹角为 \(θ_m\) 的法线对应的斜率
  
• α 粗糙度参数
  

上面的斜率分布是形状不变的，因为分布的形状始终为 f 的形状，并且形状只会随粗糙度参数 α 缩放。

各项同性的形状不变的斜率分布对结构进行拉伸等价于使用相同的缩放因子缩放粗糙度参数α和出射方向向量的斜率。这隐含说明了 masking 函数只依赖于 \(1/αtan(θ_o)\) , \(1/tan(θ_o)\) 为出射方向的斜率。Beckmann 和 GGX 分布都为形状不变的。

Λ函数的意义可以参考下图：

需要注意的是并不是所有分布都是形状不变的，Phong 分布就是形状变化的分布。

如果使用依赖于方位角的因子缩放形状，则形状不变的分布可以为各项异性的。斜率的权重因子被分配到每个方向上，此时对应的斜率分布为：

上图展示了，通过拉伸表面将各项同性的形状不变分布转化为各项异性的分布。相反地，任何一个各项异性分布的结构可以转变为一个各项同性分布的结构。我们利用该属性来推导出 masking 函数。

从上面的推导可以得出，各向异性形状不变的斜率分布对应的 masking 函数与该斜率分布对应的各项同性分布的 masking 函数相同。唯一的差别是，需要将各项异性表面的粗糙度投影到出射方向上来进行参数化。利用该属性可以推导出各项异性的 Beckmann 和 GGX 分布。

形状不变的分布的重要属性是，对于任意粗糙度或任意各向异性的结构，求解 masking 函数的所需的所有信息在 1 维的 Λ 函数中都包含了。因此，Λ确定后，可以使用Λ来构造任意粗糙度和任意各项异性的参数化分布。选择任意一个一维的函数 f，可以按照下面方式构造对于的各项异性法线分布：

上面公式中的 c 为该分布的归一化常量系数。关联的一维 \(Λ(\frac(1,α_o*tanθ_o))\) 函数，可以通过合理的多项式拟合出来。

上图展示了在竖直方向上对结构进行切变，masking 函数依然保持不变。在竖直方向上对结构侵袭切变等价于将结构的所有斜率偏移一个固定的常量。统一其包含了对所有微表面斜率和斜率关联的出射方向进行了偏移。

需要注意的是，竖直方向的切变不会影响投影的粗糙度 \(α_o\) 以及分布的归一化因子。从法线向量映射为斜率时不会将向量的旋转映射为斜率值的偏移，因此切变不变并不表示旋转法线也不变。
通常，斜率分布中心在 0 附近，这意味着平均表面和几何表面对齐。但是，当宏观表面被某个高频参数放大时，该假设是错误的。bump 贴图，normal 贴图或 displacement 贴图的目的就是通过扰乱宏观 normal 来生成中间法线（mesonormal)。切变不变性表示 non-centered 微表面的 masking 函数和 centered 微表面的 masking 函数相同。
对于 non-centered 分布，另一个需要注意的是，需要使用中间表面（mesosurface）来计算可见投影面积。BRDF 中的 \(cosθ_o\) 应该使用中间表面（mesosurface）的投影面积来代替。