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△x 无限接近于 0 时，△y = y'△x

从函数的微分的表达式 dy=f'(x)dx 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分。

偏增量
偏微分
全增量
全微分

运用雅可比矩阵可以在局部使用线性变换近似非线性变换。
新空间中 x 方向的微小变化，对应了原始空间中 x 方向和 y 方向的微小变化。

• 《雅可比矩阵是什么东西》3Blue1Brown https://www.bilibili.com/video/av79626296/
  
• 上面视频中非线性变换的图示 https://www.desmos.com/calculator/o33iibdvar
  
• 理解雅可比矩阵 https://www.matongxue.com/madocs/255
  

一元向量值函数

一元向量值函数的极限和导数

• 向量值函数 https://baike.baidu.com/item/%E5%90%91%E9%87%8F%E5%80%BC%E5%87%BD%E6%95%B0
  

方向导数为函数沿着指定向量方向的变化率。

方向导数和偏导数的关系：

• 方向导数与偏导数有什么联系？ https://www.zhihu.com/question/329468642
  

梯度为向量。该向量的各个分量为函数的偏导数。
如果函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)可微分，el=(cosα,cosβ)是与方向 l 同向的单位向量，那么 f(x,y)在 P0 点处沿着 el 方向的方向导数为 f(x,y)在该点的梯度和 el 向量的点积。

方向导数是各个方向上的导数
偏导数连续才有梯度存在
梯度的方向是方向导数中取到最大值的方向，梯度的值是方向导数的最大值。

• 如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系？ https://www.zhihu.com/question/36301367 https://www.matongxue.com/madocs/222/
  

等值线的法线 如果偏导数不同时为 0，则等值线 f(x,y)=c 上任一点 P0(x0,y0)处的单位法线量为该点梯度对应的单位向量。

• 方向导数与梯度 https://zhuanlan.zhihu.com/p/44026402
  

如果对于空间区域 G 内的任一点 M，都有一个确定的数量 f(M)，那么称在这空间区域 G 内确定了一个数量场（例如：温度场，密度场等）

如果与点 M 对应的是一个向量 F(M)，那么称在这空间区域 G 内确定了一个向量场（例如：力场，速度场等）
一个向量场可以用一个向量值函数 F(M)来确定，而 F(M) = P(M)i + Q(M)j + R(M)k,其中 P(M),Q(M),R(M)是点 M 的数量函数。
若向量场 F(M)是某个数量函数 f(M)的梯度，则称 f(M)是向量场 F(M)的一个势函数，并称向量场 F(M)为势场。

• 方向导数与偏导数有什么联系？ https://www.zhihu.com/question/329468642
  

下图为引入概念的示例

下图为定义

下图为对坐标的曲线积分的书写方式

下图为对坐标的曲线积分的性质

教材上的格林公式是格林公式的向量表达式的化简，向量表达式更能体现格林公式的含义。格林公式可以理解为向量在面上的积分等于它在面的边界线上的积分。

• 牛顿莱布尼茨公式 牛顿莱布尼茨公式(微积分基本公式)
  
• 格林公式 格林公式
  
• 高斯公式 高斯公式
  
• 如何通俗地理解格林公式? https://www.zhihu.com/question/46442061 (有道云备份)
  

• 曲面的面积
  

概念引入

对坐标的曲面积分的概念

对坐标的曲面积分的性质

• 牛顿莱布尼茨公式 牛顿莱布尼茨公式(微积分基本公式) 牛顿莱布尼茨公式表示，F'(x)在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数 F(x)在这个区间端点上的值来表达。
  
• 格林公式 格林公式 格林公式表示，平面闭区域 D 上的二重积分可以通过沿闭区域 D 的边界曲线 L 上的曲线积分来表达。
  
• 高斯公式 高斯公式 高斯公式表示，空间闭区域 Ω 上的三重积分可以通过沿空间闭区域Ω的边界曲面Σ上的曲面积分来表达。
  
• 如何理解高斯公式？ https://www.zhihu.com/question/326568092 (有道云备份)
  

通量

散度

M 点的散度为该点的梯度向量和场向量的点积。
注意：散度是标量，其代表点 M 的源头强度。

• 梯度、散度、旋度 https://zhuanlan.zhihu.com/p/97545154
  
• 散度和旋度的物理意义是什么？ https://www.zhihu.com/question/21912411
  

格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。
斯托克斯公式表达了空间曲面Σ上的曲面积分与沿着Σ的边界曲线的曲线积分之间的关系。
格林公式是斯托克斯公式的特例。

• 如何在本质上理解高等数学中的牛顿莱布尼兹公式，格林公式，斯托克斯公式，高斯公式之间的关系？ https://www.zhihu.com/question/322752498
  

Tips: 旋度为向量。

• 两类曲线积分之间的联系
  
• 梯度、散度、旋度 https://zhuanlan.zhihu.com/p/97545154