AtmosphericScattering

在 CG 中常用的物理模型是一个晴空万里的模型。模型基于两种成分，空气分子和气溶胶颗粒。在 Rg=6360km (地球半径 6371km)和 Rt=6420km 之间薄球面层中，这些分子和颗粒的密度会递减。

在每一点上，被散射到远离入射方向θ度的光的比例，由散射系数βs 和相位函数 P 的乘积给出。βs 取决于颗粒密度，P描述了角度的相关性。
对于空气分子，由 Rayleigh 理论可给出βs 和 P，空气分子几乎不会吸收入射光，消光系数(extinction coefficient) βe = βs

和空气分子不同，气溶胶会吸收一部分入射光。吸收部分由 βa 表示，消光系数 βe = βs + βa。

随着海拔变化，折射率的变化会导致光线有小的偏折（小于 2 度）。简单起见，我们直接忽略该影响。

为了提高效率和真实性，我们的目标是尽可能地预先计算 L，只用最小的近似值。我们的解决方案是基于对零散射和单一散射的精确计算，并使用近似的 occlusion 效果来计算多重散射。事实上，我们为零散射和单散射考虑了地面形状的细节，以便得到正确的地面颜色、阴影和 light shafts。但我们用一个反射率恒定的完美球体来近似计算多重散射，以允许预计算。

Notations
在展示我们的方法之前，我们需要一些符号和辅助函数。对于一个完美球形地面，由于球的对称性，x和 v 可以简化为一个海拔和一个视线天顶角，以 x,v,s 为参数的函数(如 L 或 S[L])就可以简化为只需 4 个参数的函数（两个参数表示 x 和 v，两个参数表示 s）。另外，L 可以被表示为一系列线性算子 R 和 S，第 i 项对应于光被反射或散射 i 次。

Zero and single scattering
在渲染中，我们精确计算 L0 和 R[L0]。为此，我们使用了一个阴影算法来计算太阳的遮挡，并且预计算透射比 T(其只依赖于两个参数, 见 Section 4)。S[L0]比较复杂，其是 x 和 x0 之间的积分，但是，由于 L0 中的遮挡项，对于在阴影中的所有点 y，该积分为空，这里我们假设阴影中的点在 xs 和 x0 之间（见 Figure 1，更一般的情况在 Section 5 讨论）。这样，积分就可以简化到照亮的线段[x, xs]上进行。并且，occlusion 可以被忽略，因为采用 xs 就是考虑了 occlusion 了。预计算 T 只需要 2 个参数，预计算 S[L0]需要 4 个参数。

Multiple scattering
如上所示，尽管有遮挡，L0 和 L1 还是可以准确计算出来。不幸的是，在其他项 L2+…=R[L∗]+S[L∗]中考虑遮挡的问题要困难得多。希望在这种情况下，occlusion 可以被近似计算。事实上，在白天，多重散射效应与单一散射相比是很小的，而在不被太阳直接照射的情况下，地面的贡献也很小。因此，我们通过对多重散射的贡献进行积分来近似 S[L∗]中的遮挡效应，而该多重散射(在 x 和 xs 之间)贡献是在没有遮挡的情况下计算的。这会产生正的和负的偏差（见图 1）。我们还对 R[L∗]中的遮挡效应进行了近似，其是由于地面的切平面而导致的水平半球的环境遮挡。

Angular precision
S' 为 4D 表格，其尺寸会随分辨率增大快速增大。所以我们只能为 v 使用有限的角度分辨率。这带来了一个精度问题，然而这只限于具有很强前向散射的 Mie 散射。为了解决这个问题，我们把单次的 Mie 散射项与 S' 中的所有其他散射项分开，以便在运行时应用相函数。