ComputerGraphicMath

任何一个向量都可以分解为一系列轴对齐的位移。即 v = xp + yq + zr. 这里的 p, q, r 就是 3D 空间的基向量。
基向量不必是互相垂直的，如下图展示的 2D 空间中，p 和 q 基向量长度相同，但不垂直：

基：若一组向量可生成 n 维空间（该空间上的任意向量都可由该组向量线性表示）且该组向量线性无关（该组向量无共线）那么这组向量的个数一定为 n，此时称这组向量为该 n 维空间的一组基。
正交基：如果一个空间的一组基两两正交，则称这组基为一组正交基。
标准正交基：对于一个空间的一组正交基，这组基的所有向量的模均为 1，则称这组基是一组标准正交基。

• 向量的线性表示、线性相关、线性无关 https://zhuanlan.zhihu.com/p/32986536
  

在线性代数中，矩阵是一个矩形数据网格，这个网格由 rows 行 columns 列数字排列组成。

下面是数学中矩阵的书面表示，其为 4x3 的矩阵(4 行 3 列)，矩阵通常使用大写字幕表示

    m11 m12 m13
M = m21 m22 m23
    m31 m32 m33
    m41 m42 m43

当行数和列数相同时，称矩阵为方矩阵。如下 3x3 方阵：

m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33

方阵中行数和列数相同的元素被称为对角线元素。
当方阵中除了对角线元素外其他元素都为 0，称这种方阵为对角方阵。如下 4x4 对角矩阵：

3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5 0
0 0 0 1

当对角方阵的对角线元素都为 1 时，称其为单位矩阵（记作 I）。如下 3x3 单位矩阵：

1 0 0
0 1 0
0 0 1

二维坐标系下，只有绕某个点的旋转变换。

绕坐标轴旋转的矩阵：

绕任意向量 n 旋转向量 v 的矩阵：

向量 v 绕向量 n 旋转 \(\Theta\) 角度变为向量 v'。将向量 v 分解为平行与向量 n 的向量和垂直与 n 的向量，按照上面步骤即可推出绕任意向量旋转矩阵。

方阵 M 对应的行列式记为|M|，有些书中也记为 det M 。矩阵不是方阵时，其行列式是未定义的。

按照下列方法计算 2x2 3x3 矩阵的行列式：

• 特征值 特征向量 https://zhuanlan.zhihu.com/p/33205535
  
• 奇异值分解 https://zhuanlan.zhihu.com/p/29846048
  

• minor 的定义
  方阵 M 移除第 i 行和第 j 列后，所得的子矩阵的行列式记为 \(M^{ij}\) ，其就是一个 M 的 minor。
  
  
• cofactor(代数余子式) 的定义
  minor 依据下面图示规则取正负号就是 cofactor
  
  

• 首先，任意选择矩阵的一行或一列；
  
• 其次，将该行或该列的每个原始和该元素对应的 cofactor 相乘；
  
• 最后，将上一步得到的值相加，得到的就是该矩阵的行列式；
  

下面为矩阵行列式的一些重要性质：

1. 单位矩阵的行列式为1 .
|I| = 1
2. 矩阵积行列式等于矩阵行列式的积
|AB| = |A||B|
|M1M2M3...| = |M1||M2||M3|...
3. 矩阵的行列式和矩阵转置的行列式相等
|M^T| = |M|
4. 如果矩阵任意一行或任意一列的元素都为0，则该矩阵的行列式为0
5. 任意互换矩阵的两行或两列元素，其行列式取反
6. 将矩阵某行元素乘常量k加到另一行元素上，其行列式不变

在 2D 空间，矩阵的行列式等于其基向量围成的平行四边形的有符号面积。如果平行四边形的朝向和坐标系朝向对立，则符号为负，否则为正。
在 3D 空间，矩阵的行列式等于其基向量围成的平行六面体的体积。如果平行六面体的朝向和坐标系朝向对立，则符号为负，否则为正。

矩阵的行列式和矩阵表示的变换引起的尺寸改变有关:
detM = 0, 表示变换不可逆，物体会被缩为一个点或一条直线。
0<detM<1, 表示变换使物体尺寸缩小。
detM > 1, 表示变换使物体尺寸放大。

矩阵的行列式可用于对矩阵表示的变换进行分类：

1. 如果矩阵的行列式为 0，则矩阵包含投影；
   
2. 如果矩阵的行列式为 1，则矩阵表示的变换不会使物体变形。（例如：旋转变换）
   
3. 如果矩阵的行列式为负数，则矩阵包含反射（即：镜像）；
   

矩阵 M 的伴随矩阵可用于求矩阵 M 的逆矩阵。
矩阵 M 的伴随矩阵记为 adj M, 其为矩阵 M 代数余子式的转置。

通过下面的公式可以利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵：

下面为逆矩阵相关的一些重要性质：

1. 逆矩阵求逆得到原矩阵
   \((M^{-1})^{-1} = M\)
   
2. 单位矩阵的逆矩阵是单位矩阵自己
   \(I^{-1} = I\)
   
3. 矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置
   \((M^{T})^{-1} = (M^{-1})^{T}\)
   
4. 矩阵积的逆
   \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
   \((M1M2M3...)^{-1} = ...M3^{-1}M2^{-1}M1^{-1}\)
   
5. 逆矩阵的行列式
   \(|M^{-1}| = 1/|M|\)
   

逆矩阵表示逆变换。
\((vM)M^{-1} = v(MM^{-1}) = vI = v\)

Gram-Schmidt 正交化算法的基本原理为，依次处理 3 个基向量，将当前处理的基向量投影到已处理的基向量上，从当前处理的基向量减去投影向量。这样处理之后，可以保证 3 个基向量是正交的，但是还需要对向量进行被单位化，才能保证 3 个基向量为标准正交。

Gram-Schmidt 正交化算法是有偏向性的，上图中通过增加一个 k 因子来实现无偏的正交化。

p′ = [dx/z dy/z d] = [dx/z dy/z dz/z] = [x y z] / (z/d)

          | 1 0 0 0   |
          | 0 1 0 0   |
[x y z 1] | 0 0 1 1/d | = [x y z z/d]
          | 0 0 0 1   |

关于上面投影矩阵，需要注意以下几点：

1. 乘该矩阵并没有执行透视变换，它只是将适当的分母放到了 w 分量中。透视除法发生在将 4D 坐标转化为 3D 坐标时。
   
2. 投影矩阵有很多种变体。例如我们可以将投影平面放在 z=0 的位置，将焦点(投影中心点)放在[0,0,-d]的位置，这会得到一个略微不同的矩阵。
   
3. 使用矩阵形式看起来过于复杂了。直接使用除法比使用矩阵显得更简单一些。使用矩阵的原因有：
   
   • 4x4 矩阵提供了一种将投影表示为变换的方法。这样就可以和其他变换连接在一起了。
     
   • 矩阵可以表示投影到非轴对称的平面
     
4. 在真实的图形几何管线中，投影矩阵不只是将 z 复制到 w 分量中。它和我们导出的投影矩阵有两方面的不同：
   
   • 大多数图形系统会应用归一化的缩放值，使得远平面上的 w=1。这保证了对于渲染的场景来说用于深度缓存的值是恰当地分布的，从而最大化深度缓存的精度。
     
   • 图形系统的投影矩阵还依据 fov 对 x 和 y 做相应的缩放。
     

• 可以旋转向量。其他形式的旋转表示方法无法旋转向量。
  
• 图形 API 使用矩阵来表示旋转。
  
• 矩阵支持多个角位移串联起来。
  
• 使用矩阵求逆来得到相反的角位移。因为旋转矩阵是正交的，求逆矩阵只需要转置旋转矩阵就可以了。
  

• 矩阵需要更多的内存空间
  
• 对于人类使用不友好。人类天生更倾向于使用角度来表示朝向，但是矩阵是使用向量来表示朝向的。
  
• 矩阵可能是不合法的。矩阵使用 9 个数字表示旋转，其中只有 3 个数字是必要的，另外 6 个数字是冗余的。一个表示旋转的合法矩阵必须满足 6 个约束，矩阵一行必须是单位向量，所有行之间必须是互相垂直的。
  

• 对人类来说易于使用
  
• 只使用了 3 个数值来表示 Orientation。这种方式占用内存少，另外以 EulerAngles 保存数据更利于压缩，可以用更少的位数和固定的精度来表示角度，由于压缩导致的精度丢失对于各个分量是均匀的。
  
• 表示旋转的 3 个数值都是有效的。随机选择 3 个数值组成一组有效的 EulerAngles，其可表示一个有效的旋转。也就是说不存在不合法的 EulerAngles。
  

• 对于一个给定的朝向，EulerAngles 不是唯一的。
  
  • 旋转 x 和 x+k*360 是等价的。可以通过限制旋转角度解决该问题。
    
• 第二个旋转角度为 90 时，会产生万向锁问题。该问题无法解决。
  
• EulerAngles 的三个分量在空间中是独立的，不连续的。
  
  • 物体小的朝向变化，可能导致分量中很大的变化。
    
  • 插值 EulerAngles 会导致奇怪的旋转路径。 可以参考 unitycatlikecoding\RenderingAndAdvancedR\Assets\MyTest\07EulerAnglesRotation 工程中的演示。
    

• 带你探秘四维的神秘数字——四元数 https://www.bilibili.com/video/BV1654y1k7B8/?t=298&vd_source=36597ac15683c2bddfe189d605ca1fa4
  

[w v] = [cos(Θ/2) sin(Θ/2)n]
[w (x y z)] = [cos(Θ/2) (sin(Θ/2)nx sin(Θ/2)ny sin(Θ/2)nz)]

Tips: 将上面 2D 的几何推导推广到四元数空间就是四元数的 Slerp.

Slerp 需要解决的两个问题:

• q 和-q 表示相同的 Orientation，但是做为 slerp 的参数时，会得到不同的结果。在 2D 和 3D 空间中，不会有该问题，但是在 4D 空间下会有该问题。
  
  • 解决办法是，选择 q0 和 q1 的正负号，使得 q0.q1 为非负数。这样从 q0 到 q1 始终都会选最短路径
    
• 当 q0 和 q1 非常接近时,sin(w)会非常小，这会导致除 0 的问题。
  
  • 解决办法是，当 w 非常小时，使用线性插值来代替 Slerp。
    

  //The two input quaternions
  floa t w0, x0 , y0 , z0 ;
  floa t w1, x1 , y1 , z1 ;
  //The interpolation parameter
  floa t t ;
  //The output quaternion will be computed here
  floa t w, x , y , z ;
  //Compute the cosine of the angle between the
  //quaternions , using the dot product
  float cosOmega = w0∗w1 + x0∗x1 + y0∗y1 + z0∗z1 ;
  //If negative dot , negate one of the input
  //quaternions , to take the shorter 4D arc
  if ( cosOmega < 0.0 f )
  {
      w1 = −w1;
      x1 = −x1 ;
      y1 = −y1 ;
      z1 = −z1 ;
      cosOmega = −cosOmega ;
  }
  // Check if they are very c lose together , to protect
  // against divide−by−zero
  float k0 , k1 ;
  if ( cosOmega > 0.9999 f )
  {
      // Very close − just use linear interpolation
      k0 = 1.0 f−t ;
      k1 = t ;
  }
  else
  {
      //Compute the s i n of the angle us ing the
      //trig identity sinˆ2( omega) + cos ˆ 2 ( omega) = 1
      float sinOmega = sqrt ( 1.0f − cosOmega∗cosOmega ) ;
      //Compute the angle from i t s s i n e and cos ine
      flo a t omega = atan2 ( sinOmega , cosOmega ) ;
      //Compute i n v e r s e of denominator , so we only have
      //to divide once
      float oneOverSinOmega = 1.0 f / sinOmega ;
      // Compute interpolation parameter s
      k0 = sin ( (1.0f − t ) ∗ omega ) ∗ oneOverSinOmega ;
      k1 = sin ( t ∗ omega ) ∗ oneOverSinOmega ;
  }
  // Interpolate
  w = w0∗k0 + w1∗k1;
  x = x0∗k0 + x1∗k1;
  y = y0∗k0 + y1∗k1;
  z = z0∗k0 + z1∗k1;

下图是 2 维空间下，复数和矩阵的联系：

通常将复数的虚部 i 解释为 -1 的平方根，另一种理解复数的方式是，将复数 a+bi 理解为一种包含两个自由度的数学实体，这种实体的乘法采用一种特殊的方式。实部 a 为主自由度，虚部 b 为第二自由度。这这两个自由度之间互相正交。

下图是 4 维空间下，复数和矩阵的联系：

qpq* 可用来旋转点的证明可以参考下面文章的描述：

• 为什么实际旋转角度是四元数里面的角度的两倍？ https://www.zhihu.com/question/41485992
  
• 证明三元数不存在 https://www.zhihu.com/question/394183137 有道云备份
  

• Matrix 可以，并且可以通过 SIMD 进行加速
  
• EulerAngles 不可以，必须转化为 Matrix 后进行
  
• ExponentialMap 不可以，必须转化为 Matrix 后进行
  
• Quaternion 理论上可行，但通常计算机中部这么做，依然是转化为 Matrix 后进行
  

• Matrix 可以，并且可以通过 SIMD 进行加速，需要注意多次计算后累积产生的错误
  
• EulerAngles 不可以
  
• ExponentialMap 不可以
  
• Quaternion 可以。比矩阵乘法使用更少的计算量，但可能无法利用 SIMD 优势。需要注意多次计算后累积产生的错误
  

• Matrix 可以只需要转置操作
  
• EulerAngles 比较难
  
• ExponentialMap 容易，只需要向量取反
  
• Quaternion 容易，只需要四元数共轭操作
  

• Matrix 非常不容易
  
• EulerAngles 可以但是万向锁问题会导致旋转失效
  
• ExponenialMap 可以，但是有一些奇异点问题（360x 形式的旋转量表示相同旋转）
  
• Quaternion 可以，并且 Slerp 提供圆滑的插值
  

• Matrix 难
  
• EulerAngles 比较容易
  
• ExponentialMap 非常难
  
• Quaternion 非常难
  

• Matrix 9 个数字
  
• EulerAngles 3 个数字并且易于压缩，压缩后精度损失分布平均
  
• ExponentialMap 3 个数字，不易于压缩。
  
• Quaternion 4 个数字。可以通过假设 w=0 或四元数模长=1 减少为 3 个数字。但不易于压缩。
  

• Matrix 是
  
• EulerAngles 否
  
• ExponentialMap 否
  
• Quaternion 有两种不同的表示，这两种形式互为相反。
  

• Matrix 是 矩阵可能是缩放 平移等等
  
• EulerAngles 否 任意三个数字都可以解释为旋转
  
• ExponentialMap 否 任意三个数字都可以解释为旋转
  
• Quaternion 是 必须为单位四元数
  

矩阵转化为 EulerAngle 需要注意一下几点：

• 需要知道旋转矩阵是 object-to-world 还是 world-to-object，这两个旋转矩阵互为转置，但是不同
  
• 给定一个角位移 EulerAngle 有无数多个表示，为了唯一化，做如下限制 -180<heading<=180 -180<bank<=180 -90<pitch<=90
  
• 有些矩阵是错误的形式，而且也必须忍受浮点数精度不够的问题。
  

  // Extracting EulerAnagles from an object-to-world matrix
  void ExtractEulerAngle()
  {
      //Assume the matrix is stored in these variables:
      float m11,m12,m13;
      float m21,m22,m23;
      float m31,m32,m33;
      //We will compute the Euler angle value s in radians
      //and store them here :
      float h , p , b;
      //Extract pitch from m32, being careful for domain errors with
      //asin(). We could have values slightly out of range due to
      //floating point arithmetic .
      float sp = −m32;
      if(sp <= −1.0 f )
      {
          p = −1.570796 f ; // −pi /2
      }
      else if ( sp >= 1.0 f )
      {
          p = 1.570796 f ; // pi /2
      }
      else
      {
          p = asin ( sp ) ;
      }
      //Check f o r the Gimbal lock case , giving a slight tolerance
      //for numerical imprecision
      if( fabs ( sp ) > 0.9999 f )
      {
          //We are looking straight up or down .
          //Slam bank to zero and just set heading
          b=0.0 f ;
          h=atan2(−m13, m11 ) ;
      }
      else
      {
          //Compute heading from m13 and m33
          h=atan2 (m31, m33 ) ;
          //Compute bank from m21 and m22
          b=atan2 (m12, m22 ) ;
      }
  }

定义一个隐式形式的 Boolean 函数 f(x,y,z)，对于几何单元上的所有点该函数返回 true，而其他点则返回 false。
例如： x^2 + y^2 + z^2 = 1 表示球心在原点，半径为 1 的球。

圆锥曲线是典型的通过隐式表示的几何形状。圆锥曲线是平面和圆锥体相交形成的 2D 形状。其包含圆，椭圆，抛物线，双曲线，所有这些图形都可以通过下面的隐式方式表示：
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + D = 0

Metaballs 是用于表示液体和有机器官形状的方法。通过一组模糊的球来定义体积。每个球定义一个三维的标量密度函数，其密度基于到球心的距离，球心密度最大，距离越远密度越小。空间中任意一点的密度为所有球在该点密度的和。液体或有机器官的体积被定义为密度大于某个阙值(该值不为 0)的部分。也就是说，这些球的范围是模糊的，当这些球是分离开的，那么这些球的一部分会在整体体积之外。当两个或更多球靠在一起时，模糊的区域会叠加增强，从而在两个球之间得到一个优美的固体。Marching Cube 算法是一种典型的算法，其可以将隐式形式的表面转化多边形 mesh。

参数方式，是另一种表示形状的通用方法。
例如： x(t) = cos(2πt) y(t)=sin(2πt)，t即为参数，其从 0 变化为 1，其表示一个圆形在原点，半径为 1 的圆。
通常会使用归一化的参数，即参数范围为[0,1]。也可以根据情况任意选择参数 t 的范围。

当我们的函数使用一个参数来表示，我们称该函数是单变量的。单变量函数描绘出的是一个 1D 曲线。
双变量函数接受两个参数，通常使用 s,t 来表示。双变量函数描绘出的是一个表面而不是一条线。

最后一种表示方式是直接方式。所有直接利用形状自身的重要的、明显的信息来表示形状的专用方法都属于该类方式。
例如： 为了表示一条线段，我们可以直接使用线段的两端点。可以使用球心和半径来表示一个球体。

不考虑几何单元的表示方式，任意一个几何单元都有其固有的自由度。假设其自由度为 n，则最少需要 n 个数字才能清楚表示该几何单元。对于同一个几何单元，不同的表示法所需的数字可能不同。多于自由度数量的数字，都是冗余的。
例如：平面上的圆有 3 个自由度: 圆心为（xc,yc），半径为 r，其参数方程为 x(t) = xc + rcos(2πt) y(t) = yc + rsin(2πt). 参数表示法中里面使用了 4 个数字(xc,yc,r,t). 使用隐式方式表示该圆，则为 (x-xc)^2 + (y-yc)^2 = r^2

直接方式 (Po, Pe)
参数方式 p(t) = p0 + td
分离的参数方式：
x(t) = x0 + tdx
y(t) = y0 + tdy
tips: d = (dx, dy)

2D 的射线有 4 个自由度(x0, y0, dx, dy)

斜截式(隐式方式)
y = mx + b m 为斜率，b为截距

2D 直线只有两个自由度(m, b)。一个自由度用于旋转，一个自由度用于移动。

当直线为竖直时，其斜率为无穷大，上面的表示方法将无法使用。我们可以使用如下隐式方法来表示：
ax + by = d
假设直线的法向量 n=[a, b], 用向量表示上面方程：

      |a |
|x y| |b | = d

上面表示中有三个自由度，其包含一些冗余。
上面方程两边可以同时乘任意非零常数，这样我们就可以自由选择法线的长度，选择法线 n 的长度为 1，此时法线 n 为垂直于直线的单位法向量，d为直线到原点的最近有符号距离。

n 描述了直线的朝向，d描述了直线的位置。另一种表示直线位置的方法是，给定直线上一点 q。下图展示了这种表示方法的原理：

./ComputerGraphicMath/00_09_02_line_normal_point.ggb

下面方式使用两个点来表示直线，到这两个点的距离相等的点都在该直线上。

两点表示法与参数表示法互相转化：

在 3D 空间中，给定一个 P 点和一个法线向量 n，经过 P 点并且和法线 n 垂直的平面 p 可以被定义为一系列点 Q，Q 满足 dot(n, Q-P) = 0。
平面的方程为 ax + by + cz = d, 其中(a, b, c)为法线 n; d = dot(n, P-O)，d为平面到原点的距离. 可以将平面方程的意义理解为 OP 向量投影到平面法线 n 方向后的长度为 d。
可以使用(a, b, c, -d) 来表示平面，(ka, kb, kc, -kd) 和 (a, b, c, -d)表示同一个平面。
当 d=0 时，表示平面经过原点；
当 d<0 时，表示平面法线指向靠近原点；原点在平面前面
当 d>0 时，表示平面法线指向背离原点；原点在平面后面

设点 P'=(x,y,z,1)，平面 p=(a,b,c,-d)，若 dot(P', p)=0，则点 P'在平面 p 上。

./ComputerGraphicMath/plane_illustrate01.ggb

给定三个不共线的点，可以确定一个平面。

由一组多边形的 n 个顶点，得到这组顶点对应的平面。一个简单的方案是任意取 3 个顶点来求平面，但是，这三个顶点有可能共线，另外多边形可能是凹多边形，此时任取三个顶点得到的平面的法线方向可能是反向的。
按照下面方法可以得到正确的平面:

dot(n, q-O) 为 q 点在 n 方向上到原点的距离，d为平面到原点的距离，因此，q点到平面的距离 a = dot(n, q-O) - d;

一个三角形由按顺序列出的三个顶点组成。这三个顶点的顺序是非常重要的。在左手坐标系中，当我们从三角形的正面看时，我们通常按照顺时针的方向列出这三个顶点。
按照下图的方式标记三角形的内角，顺时针边向量，边的长度：

即使我们确实是在 3D 空间中使用三角形，但是三角形的表面是在同一平面上的，其天生就是 2D 的对象。当我们不关心三角形在 3D 空间中具体的朝向，只对三角形本身进行研究时，我们可以使用重心空间。重心空间是和三角形表面相关的，其独立于三角形所在的 3D 空间。

可以利用重心坐标来解决插值和求交点的问题。13 章 Chapter13 Curves in 3D 是重心空间更一般的形式。

三角形所在面上的任意一点都可以表示为三个顶点的加权平均。这些权重就是重心坐标。使用下面公式可以将重心坐标转化为标准 3D 空间坐标：
(b1, b2, b3) 对应的 3D 坐标为 b1v1 + b2v2 + b3v3
其中 b1 + b2 + b3 = 1, 这样的归一化约束去掉了一个自由度，这就是为什么尽管这里有 3 个坐标，但是其依然为一个 2D 空间。

重心空间将平面细分（tessellates）为多个和原始三角形大小相同的三角形：

上面的推导，更加明确了，重心空间只有两个自由度。在重心空间中，我们完全可以只使用两个坐标来表示一个点。空间的秩不是由样本点的维度，也不是由样本点的个数决定的。例如，如果我们有两个样本点，重心坐标的维度为 2，此时其表达的是线。需要注意的是，这条线可以是 1D 的线（也就是对标量的插值），也可以是 2D 的线，或者是 3D 或更高维的线。

如果三角形的 3 个顶点共线，则三角形的面积就会为 0，上面计算公式中的分母就会为 0，此时无法计算重心坐标。
计算 3D 空间中任意一点 p 的重心坐标要比 2D 空间要复杂。此时，我们有如下等式：
b1x1 + b2x2 + b3x3 = px
b1y1 + b2y2 + b3y3 = py
b1z1 + b2z2 + b3z3 = pz
b1 + b2 + b3 = 1
p 有可能不在三角形所在的平面上，此时 p 的重心坐标是未定义的。
我们可以通过直接忽略 x,y 或 z 其中一个分量，将三角形和 P 点投影到某个坐标平面上，然后再求重心坐标。
为了避免投影后的三角形顶点共线，选择投影后面积最大的坐标平面为投影平面。可以比较三角形所在面的 normal 的各个分量的绝对值，直接忽略绝对值最大的分量，得到的投影面积最大。

利用叉乘计算 Barycentric Coordinates 的另一种解释:

下面文件图形化展示了其原理：
./ComputerGraphicMath/00_09_06_barycentric_coord_calc_001.ggb

• 重心坐标（Barycentric coordinates）https://zhuanlan.zhihu.com/p/58199366
  
• 三角形重心坐标 https://zhuanlan.zhihu.com/p/65495373
  

确定可见表面一共有两种方案：

1. 射线追踪（Ray tracing）
   
2. 深度缓冲区 （Depth buffering）
   

当给定颜色的光从给定的入射方向照射到表面，有多少光从特定的方向反射出来？BRDF 可以回答该问题。
BRDF 需要满足如下条件从而保证在物理上是合理的：

1. 在任何方向上不会有负的光被反射
   
2. 总的反射量不会大于所有的入射量
   
3. 入射方向和反射方向互换，BRDF 不变
   

图形学其实就是测量光。如何测量光的颜色？如何测量光的亮度？

复合可见光可以由任何数量的任意波长的单频可见光组合而成。
颜色只是人类的感觉，其和频率不是同一事物。人类无法区别无限的单频可见光组合，不同的复合光可以产生相同的颜色感觉，这被称为条件等色。

电磁波谱的可见部分是连续的，所以 BRDF(f(x, ˆωin, ˆωout, λ)) 表达式中的λ理论上也是连续的。实践中，我们制作图形给人类看，我们将无数不同的波长减少为 3 个特定波长。
下图是辐射度学和色度学中测量光亮度使用的物理量：

考虑光所有可能的入射方向，会得到一个以 x 点为中心的半圆，该半圆朝向表面法线 normal 指向的方向。对于每个可能的入射方向ωin，我们测量入射方向上光的颜色。BRDF 可以告诉我们ωin 方向上的入射辐射率有多少被反射到ˆωout 方向从而进入我们眼睛。将所有反射到ˆωout 方向上的辐射率加起来就可以得到总的反射进入我们眼睛的辐射率。然后再加上所有从表面直接发射到我们眼睛的辐射率，就得到总的辐射率。这就是渲染方程：

有时候我们不会将图片渲染到整个屏幕上。下图展示了指定的输出窗口：

pixPhysx/pixPhysy = (devPhysx/devPhysy) * (devResy/devResx)

pixPhys 表示像素的物理尺寸
devPhys 表示显示设备的物理尺寸
devRes 表示显示设备的像素数量，也就是通常说的分辨率(Resolution)

通常 pixel ratio 为 1:1，即像素是正方形的

视景体是摄像机可见区域的体积，其由 6 个裁剪平面包围而成。top、left、bottom、right 平面对应于输出窗口。near、far 平面对应于摄像机空间中的 z 值。

摄像机像其他物体一样也有位置和朝向，但是，它还有一个额外的属性 FOV。另一个你可能知道的概念是缩放或变焦(Zoom).当镜头向前推进（Zoom in）屏幕上显示的你正在看的物体会变大，镜头拉远(Zoom out)屏幕上显示的物体会变小。

FOV 是视景体截取的角度。事实上我们需要两个角度来描述，水平 FOV 和竖直 FOV。

变焦倍数描述的是物体显示尺寸相对于 FOV=90 时的比率. 例如，变焦倍数为 2 时，物体的显示尺寸为 FOV=90 时的两倍。下图为 Zoom 的几何表示：

Zoom 和 FOV 的关系如下:
zoom = 1 / tan (fov/2)
fov = 2 arctan (1/zoom)

我们需要两个不同的 FOV，一个水平方向的 HFOV，一个竖直方向的 VFOV。我们可以任意选择这两个 FOV 值，但是如果这两个值不满足特定的比例关系，则最后渲染的图片会被拉伸。为了维持特定的比例，变焦倍数的比例必须和输出窗口的物理区域比例相同：
zoomy/zoomx = winPhysx/winPhysy = window aspect ratio
zoomy/zoomx = winPhysx/winPhysy = winResx/winResy * pixPhysx/pixPhysy = winResx/winResy * devPhysx/devPhysy * devResy/devResx

• zoom 为摄像机变焦倍数
  
• winPhys 为输出窗口的物理尺寸
  
• winRes 为输出窗口的像素分辨率
  
• pixPhy 为一个像素的尺寸
  
• devPhy 为输出设备的物理尺寸。通常我们不知道具体尺寸，但是我们知道其长宽比。
  
• devRes 为输出设备的分辨率
  
• https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%BA%E7%9C%BC%E8%A7%86%E5%BA%A6
  

正交投影没有 FOV，因为正交投影的视景体为正方体。我们没有使用两个角度来定义视景体 x 和 y 方向上的尺寸, 而是通过视景体的宽和高来定义。变焦倍数也有不同的意义，其和视景体的尺寸相关：
zoom = 2/size;
size = 2/zoom;
和透视投影一样，有两个 Zoom 值，他们之间的比值需要和渲染窗口的宽高比要一致，否则画面会被拉伸。

在摄像机坐标系下，顶点会被变换到 clip space（裁剪坐标系），也被称为 canonical view volume space（标准视景体坐标系）。对应的变换矩阵被称为 clip matrix(裁剪矩阵)，也被称为投影矩阵。
裁剪矩阵提供了两个主要的功能：

1. 为投影做准备
   将 w 分量中放入恰当的值，从而使得齐次除法可以得到希望的投影。对于典型的透视投影来说，意味着将 z 放到 w 分量。
   
2. 应用变焦并且为裁剪做准备
   缩放 x,y,z 从而可以将缩放后的 x,y,z 和 w 进行比较来进行裁剪。因为变焦倍数影响了视景体的形状，从而会影响到裁剪，所以缩放同时也考虑了变焦。
   

tangent space, +z 指向离开表面的方向；+z 基向量其实就是表面的 normal 向量。x 基向量被称为 tangent vector, 其为贴图空间中 u 增长的方向。也就是说，当我们在 3D 空间中沿着 tangent 向量移动时，对应于我们在 normal map 的 2D 空间中向右移动(通常 normal map 会和其他贴图共享 uv 坐标，如果没有共享的话，对应的是 normal map 的 uv 坐标)。类似地，y 基向量被称为 binormal vector, 其为贴图空间中 v 增长的方向。和表面的 normal vector 一样，tangent vector 和 binormal vector 的坐标都是在 model space。

tangent, binormal, normal 为 tangent space 的坐标轴。这三个基向量用 model-space 的向量来表示，使用他们构造的矩阵就可以将 tangent-space normal 转化为 model-space normal。

下面文件展示了计算 Tangent Space 基向量的原理：

./ComputerGraphicMath/00_10_09_calc_tangent_space_basis_vector.ggb

如此计算出的 tangent vector，bitangent vector 不是正交基向量，可以使用如下方法进行正交化：
Orthogonalizing a Matrix